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Gráfica de la función cotangente hiperbólica. En trigonometría , la cotangente hiperbólica de un número real
x
{\displaystyle x}
función hiperbólica definida como la inversa de la tangente hiperbólica . Se simboliza
coth
(
x
)
{\displaystyle {\text{coth}}(x)}
cotgh
(
x
)
{\displaystyle {\text{cotgh}}(x)}
coth
(
x
)
=
cosh
(
x
)
senh
(
x
)
=
e
x
+
e
−
x
e
x
−
e
−
x
{\displaystyle \operatorname {coth} (x)={\frac {\operatorname {cosh} (x)}{\operatorname {senh} (x)}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}}
El dominio de la función está definido para
(
−
∞
,
0
)
{\displaystyle (-\infty ,0)}
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle (0,+\infty )}
codominio queda definido para el intervalo
(
−
∞
,
−
1
)
{\displaystyle (-\infty ,-1)}
(
1
,
+
∞
)
{\displaystyle (1,+\infty )}
asíntota horizontal en
y
=
−
1
{\displaystyle y=-1}
y
=
1
{\displaystyle y=1}
monótona estrictamente decreciente.
La derivada de la función es:
d
d
x
coth
x
=
1
−
coth
2
x
=
−
1
sinh
2
x
=
−
csch
2
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x}
La función cotangente hiperbólica, como demuestra el teorema de adición , se puede sintetizar en:
coth
(
α
+
β
)
=
1
+
coth
α
coth
β
coth
α
+
coth
β
{\displaystyle \coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}}
Datos: Q359452